Κανονική Κατανομή

Εισαγωγή

Η κανονική πυκνότητα πιθανότητας, συχνά, στη Γαλλική κυρίως βιβλιογραφία, απαντάται ως Λαπλασιανή (Laplacian Density), προς τιμή του Γάλλου μαθηματικού, μαρκήσιου Pierre Simon de Laplace. Στη Γερμανική βιβλιογραφία συναντάται και ως Γκαούσιαν πυκνότητα ή πυκνότητα κατά Γκάους (Gaussian Density). Πάντως, οι μαθηματικοί την αναφέρουν ως κανονική, ενώ οι μηχανικοί και φυσικοί προτιμούν τον όρο Γκαούσιαν.

Η κανονική κατανομή (Normal Distribution), στην οποία αντιστοιχεί η κανονική πυκνότητα πιθανότητας (Normal Density Function), προσεγγίζει πολλές από τις κατανομές τυχαίων μεταβλητών και αποτελεί το όριο προς το οποίο τείνουν οι κατανομές αυτές, όταν κάποια από τις παραμέτρους τους τείνει στο ∞.

Η κανονική συνάρτηση πιθανότητας εμφανίζεται σε πληθώρα στατιστικών εφαρμογών. Ένας από τους λόγους που συμβαίνει αυτό, είναι το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Σύμφωνα με αυτό το θεώρημα, τυχαίες μεταβλητές είναι σχεδόν κανονικά κατανεμημένες, αν ο αριθμός των παρατηρήσεων είναι πολύ μεγάλος. Για παράδειγμα, αν ρίξουμε ένα νόμισμα, ο συνολικός αριθμός των κορόνων προσεγγίζει την κανονικότητα (normality), αν ρίξουμε το νόμισμα πολλές φορές.

Ο τύπος που περιγράφει την κανονική συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

Παρατηρείστε τον τύπο και στη συνέχεια απαντήστε στις ερωτήσεις:

1η ερώτηση: Ποιές είναι οι δυο στατιστικές παράμετροι της κατανομής (να γραφούν με τη μορφή: α,β)

2η ερώτηση: Πως ονομάζεται η κατανομή όταν μ=0 και σ=1

Η Κανονική Κατανομή

H κανονική κατανομή (normal distribution) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή
    της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα
    θέση της, είναι βασικά δύο:
    i)
    Πολλές τυχαίες μεταβλητές περιγράφονται ικανοποιητικά από την κανονική
    κατανομή ή περιγράφονται από κατανομές που μπορούν να προσεγγισθούν από
    την κανονική κατανομή.
    ii)
    Οι ιδιότητες της κανονικής κατανομής αξιοποιούνται στη Στατιστική
    Συμπερασμασματολογία. Ουσιαστικά, η κανονική κατανομή, αποτελεί το
    θεμέλιο της Στατιστικής Συμπερασμασματολογίας.
    Στο δεύτερο μέρος του μαθήματος (Στατιστική), θα έχουμε την ευκαιρία να
    διαπιστώσουμε πόσο σημαντική είναι η κανονική κατανομή στη στατιστική
    συμπερασματολογία. Προς το παρόν, ας σταθούμε λίγο περισσότερο στον πρώτο από
    τους παραπάνω λόγους. Ας προσπαθήσουμε, δηλαδή, να εξηγήσουμε γιατί η κανονική
    κατανομή βρίσκει εφαρμογή σε μεγάλο πλήθος φαινομένων και πειραμάτων.
    Το «μυστικό» που εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογών της κανονικής κατανομής,
    βρίσκεται σε ένα εκπληκτικά ισχυρό θεωρητικό αποτέλεσμα της Θεωρίας
    Πιθανοτήτων το οποίο επιβεβαιώνεται και πειραματικά. Πρόκειται για το Κεντρικό
    Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) τις βάσεις του οποίου έθεσαν δύο
    μεγάλοι Μαθηματικοί. Ο Abraham De Moivre το 1733 και, έναν αιώνα περίπου
    αργότερα, το 1812, ο Laplace. Σε αυτό το σημείο, δε θα διατυπώσουμε αυστηρά, ούτε
    θα αποδείξουμε, το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Θα προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε
    μόνο το νόημα και τη σημασία του. Αργότερα, θα δώσουμε μια πληρέστερη
    διατύπωση.
    Σύμφωνα με το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα, το άθροισμα και -επομένως- η μέση τιμή,
    μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων παρατηρήσεων, ακολουθεί κατά προσέγγιση κανονική
    κατανομή, ανεξαρτήτως από το ποια κατανομή ακολουθούν οι παρατηρήσεις. Πώς,
    όμως, αυτό το αποτέλεσμα ερμηνεύει τη μεγάλη εφαρμοσιμότητα της κανονικής
    κατανομής; Είναι απλό. Σε πολλά φαινόμενα και πειράματα, οι τιμές διαφόρων
    χαρακτηριστικών (μεταβλητών), είναι αποτέλεσμα αθροιστικής επίδρασης πολλών
    ανεξάρτητων αιτίων-παραγόντων κανένα από τα οποία δεν υπερισχύει των άλλων.
    Για παράδειγμα, ο χρόνος αναμονής σε μια ουρά, είναι αποτέλεσμα πολλών
    παραγόντων, όπως, η ημέρα της εβδομάδας, η ώρα της ημέρας, η
    αποτελεσματικότητα του υπαλλήλου, το είδος της συναλλαγής που διεκπεραιώνεται,
    κ.ά. Επίσης, το βάρος των ζώων μιας κτηνοτροφικής μονάδας, οφείλεται σύμφωνα με
    τους ειδικούς, σε πληθώρα παραγόντων όπως, η ατομικότητα του ζώου, η φυλή, το
    γένος, οι συνθήκες διατροφής, οι συνθήκες ενσταυλισμού, κά. Καθένας από τους
    παράγοντες αυτούς επιφέρει ένα θετικό ή αρνητικό αποτέλεσμα και όλοι μαζί
    αθροιστικά συντελούν στη διαμόρφωση του τελικού αποτελέσματος. Τέτοια
    χαρακτηριστικά (μεταβλητές), εμφανίζονται σε πολλά φαινόμενα και πειράματα. Το
    Κεντρικό Οριακό Θεώρημα λεει ότι αυτά ακριβώς τα χαρακτηριστικά περιγράφονται
    ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή. Επιπλέον, το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα
    συνδέει την κανονική κατανομή με οποιαδήποτε άλλη κατανομή (αφού δεν
    προϋποθέτει να ακολουθούν οι παρατηρήσεις την κανονική κατανομή), γεγονός το
    οποίο, απαντάει, επίσης, στο ερώτημα, γιατί η κανονική κατανομή βρίσκει εφαρμογή
    σε μεγάλο πλήθος φαινομένων και πειραμάτων.
    Πρέπει να τονίσουμε ότι για να αποδειχθεί ότι ένα συγκεκριμένο χαρακτηριστικό
    (μεταβλητή) προσεγγίζεται ικανοποιητικά από την κανονική κατανομή, πρέπει να
    γίνουν μετρήσεις που να επαληθεύουν ένα τέτοιο συμπέρασμα1. Μια από τις πρώτες
    εφαρμογές της κανονικής κατανομής, έγινε το 1809 από το μεγάλο Γερμανό
    Μαθηματικό Carl F. Gauss ο οποίος διαπίστωσε ότι τα σφάλματα που γίνονται σε
    αστρονομικές παρατηρήσεις μπορούν να περιγραφούν ικανοποιητικά από την
    κανονική κατανομή. Στη συνέχεια, διαπιστώθηκε επίσης, ότι τα τυχαία σφάλματα (όχι
    τα συστηματικά) που εμφανίζονται σε διάφορες μετρήσεις ακολουθούν με
    ικανοποιητική προσέγγιση κανονική κατανομή. Για το λόγο αυτό, η κανονική
    κατανομή ονομάζεται και κατανομή των σφαλμάτων (law of errors). Επίσης, είναι
    γνωστή ως κατανομή του Gauss (Gaussian distribution), για τη μεγάλη συνεισφορά
    του Gauss στην ανάδειξη των ιδιοτήτων και της σημασίας της. Όμως, για το πώς και
    από ποιόν εισήχθη η κανονική κατανομή, θα αναφερθούμε αργότερα όταν μιλήσουμε
    πιο αναλυτικά για το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα. Τέλος, ως πρόσθετη σχετική
    πληροφορία2, αναφέρουμε ότι στο γερμανικό χαρτονόμισμα των δέκα μάρκων
    υπήρχαν, φωτογραφία του Gauss, η κανονική καμπύλη και ο μαθηματικός τύπος της.

ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΤΥΠΙΚΗΣ ΚΑΝΟΝΙΚΗΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ N(0,1)

	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,00	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,10	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,20	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,30	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,40	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,50	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,60	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,70	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,80	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,90	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,00	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,10	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,20	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,30	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,40	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,50	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,60	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,70	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,80	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,90	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,00	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,10	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,20	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,30	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,40	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,50	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,60	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,70	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,80	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,90	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,00	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
3,10	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
3,20	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
3,30	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
3,40	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
3,50	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
3,60	0,9998	0,9998	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999

Ερώτηση: Η κατανομή είναι συμμετρική ως προς τη μεταβλητότητα;

Απάντηση:

Ναι

Όχι

Ερώτηση: Ποιά είναι η πιθανότητα ότι κάποιος έχει δείκτη νοημοσύνης μεγαλύτερο από 105 και μικρότερο από 125; (Υπόδειξη: Παρακολουθείστε τα video στο κάτω μέρος της ιστοσελίδας πριν απαντήσετε)

Απάντηση : Γράψτε την απάντησή σας με ακρίβεια εκατοστού στην θέση αυτή

Ερώτηση: Ποιά είναι η πιθανότητα ότι κάποιος έχει δείκτη νοημοσύνης μεγαλύτερο από 85 και μικρότερο από 115; (Υπόδειξη: Παρακολουθείστε το video στο κάτω μέρος της ιστοσελίδας πριν απαντήσετε)

Απάντηση : Γράψτε την απάντησή σας με ακρίβεια εκατοστού στην θέση αυτή

Ερώτηση: Ποιά είναι η πιθανότητα ότι κάποιος έχει δείκτη νοημοσύνης μικρότερο από 90;

Απάντηση : Γράψτε την απάντησή σας με ακρίβεια εκατοστού στην θέση αυτή

Ερώτηση: Ποιά είναι η πιθανότητα ότι κάποιος έχει δείκτη νοημοσύνης μεγαλύτερο από 85 και μικρότερο από 95;

Απάντηση : Γράψτε την απάντησή σας με ακρίβεια εκατοστού στην θέση αυτή

Το γράφημα της κανονικής κατανομής

Normal Distribution Video 2

Normal Distribution Video 3

Για να εργαστείτε στο πλαίσιο αυτό κάντε κλικ στο κουτάκι

Η εφαρμογή GeoGebra δεν μπορεί να ξεκινήσει. Βεβαιωθείτε ότι έχετε εγκαταστήσει και έχετε ενεργοποιημένη την Java 1.4.2 (ή μεταγενέστερη). (Κάντε κλικ εδώ για να εγκαταστήσετε την Java)

Literature

Aldrich, John; Miller, Jeff. "Earliest uses of symbols in probability and statistics". http://jeff560.tripod.com/stat.html.
Aldrich, John; Miller, Jeff. "Earliest known uses of some of the words of mathematics". http://jeff560.tripod.com/mathword.html. In particular, the entries for “bell-shaped and bell curve”, “normal (distribution)”, “Gaussian”, and “Error, law of error, theory of errors, etc.”.
Amari, Shun-ichi; Nagaoka, Hiroshi (2000). Methods of information geometry. Oxford University Press. ISBN 0-8218-0531-2.
Bernardo, J. M.; Smith, A.F.M. (2000). Bayesian Theory. Wiley. ISBN 0-471-49464-X.
de Moivre, Abraham (1738). The Doctrine of Chances. ISBN 0821821032.
Fan, Jianqing (1991). "On the optimal rates of convergence for nonparametric deconvolution problems". The Annals of Statistics 19 (3): 1257–1272. doi:10.1214/aos/1176348248. JSTOR 2241949.
Gavss, Carolo Friderico (1809) (in Latin). Theoria motvs corporvm coelestivm in sectionibvs conicis Solem ambientivm [Theory of the motion of the heavenly bodies moving about the Sun in conic sections]. English translation.
Gould, Stephen Jay (1981). The mismeasure of man (first ed.). W.W. Norton. ISBN 0-393-01489-4.
Halperin, Max; Hartley, H. O.; Hoel, P. G. (1965). "Recommended standards for statistical symbols and notation. COPSS committee on symbols and notation". The American Statistician 19 (3): 12–14. doi:10.2307/2681417. JSTOR 2681417. http://jstor.org/stable/2681417.
Hart, John F.; et al (1968). Computer approximations. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0882756427.
Herrnstein, C.; Murray (1994). The bell curve: intelligence and class structure in American life. Free Press. ISBN 0-02-914673-9.
Huxley, Julian S. (1932). Problems of relative growth. London. ISBN 0486611140. OCLC 476909537.
Johnson, N.L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 1. Wiley. ISBN 0-471-58495-9.
Johnson, N.L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). Continuous univariate distributions, Volume 2. Wiley. ISBN 0-471-58494-0.
Kruskal, William H.; Stigler, Stephen M. (1997). Normative terminology: ‘normal’ in statistics and elsewhere. Statistics and public policy, edited by Bruce D. Spencer. Oxford University Press. ISBN 0-19-852341-6.
la Place, M. de (1774). "Mémoire sur la probabilité des causes par les évènemens". Mémoires de Mathématique et de Physique, Presentés à l’Académie Royale des Sciences, par divers Savans & lûs dans ses Assemblées, Tome Sixième: 621–656. Translated by S.M.Stigler in Statistical Science 1 (3), 1986: JSTOR 2245476.
Laplace, Pierre-Simon (1812). Analytical theory of probabilities.
McPherson, G. (1990). Statistics in scientific investigation: its basis, application and interpretation. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97137-8.
Marsaglia, George; Tsang, Wai Wan (2000). "The ziggurat method for generating random variables". Journal of Statistical Software 5 (8). http://www.jstatsoft.org/v05/i08/paper.
Marsaglia, George (2004). "Evaluating the normal distribution". Journal of Statistical Software 11 (4). http://www.jstatsoft.org/v11/i05/paper.
Maxwell, James Clerk (1860). "V. Illustrations of the dynamical theory of gases. — Part I: On the motions and collisions of perfectly elastic spheres". Philosophical Magazine, series 4 19 (124): 19–32. doi:10.1080/14786446008642818.
Patel, Jagdish K.; Read, Campbell B. (1996). Handbook of the normal distribution. ISBN 0824715411.
Pearson, Karl (1905). "‘Das Fehlergesetz und seine Verallgemeinerungen durch Fechner und Pearson’. A rejoinder". Biometrika 4: 169–212. JSTOR 2331536.
Pearson, Karl (1920). "Notes on the history of correlation". Biometrika 13 (1): 25–45. doi:10.1093/biomet/13.1.25. JSTOR 2331722.
Stigler, Stephen M. (1978). "Mathematical statistics in the early states". The Annals of Statistics 6 (2): 239–265. doi:10.1214/aos/1176344123. JSTOR 2958876.
Stigler, Stephen M. (1982). "A modest proposal: a new standard for the normal". The American Statistician 36 (2). JSTOR 2684031.
Stigler, Stephen M. (1986). The history of statistics: the measurement of uncertainty before 1900. Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1.
Stigler, Stephen M. (1999). Statistics on the table. Harvard University Press. ISBN 0674836014.
Walker, Helen M (1985). "De Moivre on the law of normal probability". In Smith, David Eugene. A source book in mathematics. Dover. ISBN 0486646904. http://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/demoivre.pdf.
Weisstein, Eric W. "Normal distribution". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/NormalDistribution.html.
West, Graeme (2009). "Better approximations to cumulative normal functions". Wilmott Magazine: 70–76. http://www.wilmott.com/pdfs/090721_west.pdf.
Zelen, Marvin; Severo, Norman C. (1964). Probability functions (chapter 26). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables, by Abramowitz and Stegun: National Bureau of Standards. New York: Dover. ISBN 0-486-61272-4. http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_931.htm.